Hình học là một lĩnh vực quan trọng ở trường và được áp dụng rất nhiều trong những công trình hiện nay. Bên cạnh Tam giác, Tứ giác, Hình chữ nhật,… thì các bài toán về Hình bình hành cũng xuất hiện khá nhiều trong chương trình cấp Trung học cơ sở và Trung học phổ thông. Chính vì vậy, Gia Sư Việt sẽ đem đến bài học: Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là hình bình hành. Từ đó, các bạn nhanh chóng tiếp thu kiến thức và giải bài tập hiệu quả hơn.
I. Khái niệm về Hình bình hành
Hình bình hành là Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
Từ khái niệm trên ta có: Tứ giác ABCD là Hình bình hành ⇔ AB // CD và AD // BC
Nhận xét: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song ( Hình bình hành là một dạng đặc biệt của hình thang ).
II. Tính chất của Hình bình hành
– Tính chất 1: Trong Hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => AB = CD và AD = BC
– Tính chất 2: Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => Góc A = C; Góc B = D
– Tính chất 3: Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cho Hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O => OA = OC và OB = OD
III. Các cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành
Cách 1: Tứ giác có các cạnh đối song song
Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Ta có:
EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên EF // AC (1)
Tương tự, HG là đường trung bình của tam giác ACD, nên HG // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra HG // EF
Tiếp theo:
FG là đường trung bình của tam giác CBD, nên FG // BD (3)
Tương tự, HE là đường trung bình của tam giác ABD, nên HE // BD (4)
Từ (3) và (4) suy ra HE // FG
Xét tứ giác EFGH có:
HG // EF và HE // FG;
Vậy Tứ giác EFGH là Hình bình hành do các cạnh đối song song. ( đpcm)
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác góc D cắt AB ở E, tia phân giác góc B cắt CD ở F. Chứng minh DEBF là hình bình hành.
Ta có:
Góc B1 = D1 do đều bằng một ½ của hai góc bằng nhau B và D trong hình bình hành ABCD
AB // CD (ABCD là hình bình hành) => Góc B1 = F1 (so le trong)
Mà hai góc này lại ở vị trí đồng vị => DE // BF
Xét tứ giác DEBF có:
DE // BF (chứng minh trên)
BE // DF ( do AB // CD)
Vậy Tứ giác DEBF là Hình bình hành do các cạnh đối song song. ( đpcm)
Cách 2: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Ví dụ 3: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆CDA. Chứng minh rằng ABCD là Hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆CDA => AD = BC và AB = CD
=> ABCD là hình bình hành dó có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Cách 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.
Ta có:
ABCD là hình bình hành => AD // BC và AD = BC
AD // BC => DE // BF (1)
E là trung điểm AD => DE = AD/2
F là trung điểm BC => BF = BC/2
Mà AD = BC (ABCD là hình bình hành)
DE = BF (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác DEBF là hình bình hành do có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Cách 4: Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Ví dụ 5: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆ ADC và ∆BAD = ∆BCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆ADC => Góc ABC = Góc ADC (1)
∆BAD = ∆BCD => Góc BAD = Góc BCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác ABCD là hình bình hành do các góc đối bằng nhau.
Cách 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại mỗi trung điểm mỗi đường
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.
Ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
Góc AEO = Góc CFO = 90°
OA = OC
Góc AOE = Góc COF (đối đỉnh)
Suy ra, ∆AEO = ∆CFO (cạnh huyền – góc nhọn) => OE = OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: AK // CI và DM = MN = NB
Ta có:
AB // CD và AB = CD ( do ABCD là hình bình hành)
I, K lần lượt là trung điểm AB, DC => AI=IB và DK = KC
Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AI và KC) nên AICK là Hình bình hành nên AK // CI (điều phải chứng minh)
Tiếp theo ta có:
AM // IN và MK // NC
Xét tam giác AMB có:
AM // IN
AI = BI (I là trung điểm AB)
IN là đường trung bình của tam giác AMB
N là trung điểm MB => MN = NB (1)
Tương tự, xét tam giác DNC có:
MK // NC
DK = CK (K là trung điểm DC)
MK là đường trung bình của tam giác DNC
M là trung điểm DN => DM = NM (2)
Từ (1) và (2) suy ra DM = MN = NB (điều phải chứng minh).
Lời kết: Vừa rồi là bài viết về khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành với các ví dụ, bài tập thường gặp. Đây là mảng kiến thức tuy cơ bản nhưng sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh khi làm bài không chỉ với Hình bình hành, mà còn liên quan đến các nội dung khác trong môn Hình. Các em hãy luôn đồng hành cùng Gia Sư Việt để nắm được nhiều kiến thức và bài tập hơn nhé!
Tham khảo thêm:
♦ Giáp pháp khắc phục tình trạng “mất gốc Hóa” hiệu quả nhất
♦ Phương pháp học 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ hiệu quả nhất
♦ Định nghĩa, tính chất & cách chứng minh các Tam giác đặc biệt