Cách giải bất phương trình bậc 2

Bất phương trình quy về bậc hai

Tam thức bậc hai

– Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

a) f(x) = x2 – 3x + 2

b) f(x) = x2 – 4

c) f(x) = x2(x-2)

° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.

– Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

– Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

– Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1<x2) là hai nghiệm của f(x).

[Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng]

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Tìm nghiệm của tam thức

– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)

– Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2×2 +3x – 5 <0;

Giải bất phương trình bậc 2

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Ví dụ: Giải bất phương trình

Mẫu thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3Dấu của f(x) được cho trong bảng sau

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ là S=(−1;1/3)

3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

Bất phương trình quy về bậc nhất

Giải và biện luận bpt dạng ax + b < 0

1.1. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.

1.2. Dấu nhị thức bậc nhất

2. Bất phương trình tích

∙ Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

∙ Cách giải: Lập bxd của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5×2 – 3x + 1

b) -2×2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36

d) (2x – 3)(x + 5)

Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5×2 – 3x + 1

– Xét tam thức f(x) = 5×2 – 3x + 1

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 – 20 = -11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

– Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2×2 + 3x + 5

– Xét tam thức f(x) = -2×2 + 3x + 5

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = -1; x2 = 5/2, hệ số a = -2 < 0

– Ta có bảng xét dấu:

f(x) > 0 khi x ∈ (-1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) = 0 khi x = -1 ; x = 5/2

f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -1) ∪ (5/2; +∞)

c) x2 + 12x + 36

– Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 144 – 144 = 0.

– Tam thức có nghiệm kép x = -6, hệ số a = 1 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) > 0 với ∀x ≠ -6

f(x) = 0 khi x = -6

d) (2x – 3)(x + 5)

– Xét tam thức f(x) = 2×2 + 7x – 15

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = -5, hệ số a = 2 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; -5) ∪ (3/2; +∞)

f(x) = 0 khi x = -5 ; x = 3/2

f(x) < 0 khi x ∈ (-5; 3/2)

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức

a) f(x) = (3×2 – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3×2 – 4x)(2×2 – x – 1)

c) f(x) = (4×2 – 1)(-8×2 + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = [(3×2 – x)(3 – x2)]/[4×2 + x – 3]

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) f(x) = (3×2 – 10x + 3)(4x – 5)

– Tam thức 3×2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

– Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3×2 – 4x)(2×2 – x – 1)

– Tam thức 3×2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3×2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2×2 – x – 1 có hai nghiệm x = -1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2×2 – x – 1 mang dấu + khi x < -1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi -1/2 < x < 1.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {-1/2; 0; 1; 4/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4×2 – 1)(-8×2 + x – 3)(2x + 9)

– Tam thức 4×2 – 1 có hai nghiệm x = -1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4×2 – 1 mang dấu + nếu x < -1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu -1/2 < x < 1/2

– Tam thức -8×2 + x – 3 có Δ = -47 < 0, hệ số a = -8 < 0 nên luôn luôn âm.

– Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = -9/2.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; -9/2) ∪ (-1/2; 1/2)

f(x) = 0 khi x ∈ S = {-9/2; -1/2; 1/2}

f(x) < 0 khi x ∈ (-9/2; -1/2) ∪ (1/2; +∞)

d) f(x) = [(3×2 – x)(3 – x2)]/[4×2 + x – 3]

– Tam thức 3×2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3×2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

– Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = -√3, hệ số a = -1 < 0

⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < -√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi -√3 < x < √3.

– Tam thức 4×2 + x – 3 có hai nghiệm x = -1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4×2 + x – 3 mang dấu + khi x < -1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi -1 < x < 3/4.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-√3; -1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞; -√3) ∪ (-1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4×2 – x + 1 < 0

b) -3×2 + x + 4 ≥ 0

d) x2 – x – 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4×2 – x + 1 < 0

– Xét tam thức f(x) = 4×2 – x + 1

– Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3×2 + x + 4 ≥ 0

– Xét tam thức f(x) = -3×2 + x + 4

– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒ f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

– Điều kiện xác định: x2 – 4 ≠ 0 và 3×2 + x – 4 ≠ 0

⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

– Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

– Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

– Tam thức 3×2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3×2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

– Ta có bảng xét dấu như sau:

– Từ bảng xét dấu ta có:

(*) < 0 ⇔ x ∈ (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 – x – 6 ≤ 0

– Xét tam thức f(x) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (*)

• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ’ = b’2 – ac = (2m – 3)2 – (m – 2)(5m – 6)

= 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12

= -m2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

– Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

Δ’ = b’ – ac = (m + 3)2 – (3 – m)(m + 2)

= m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m

= 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

– Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Bài 53 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình

a) -5×2 + 4x + 12 < 0

b) 16×2 + 40x +25 < 0

c) 3×2 – 4x+4 ≥ 0

d) x2 – x – 6 ≤ 0

Lời giải:

b) Tam thức 16×2 +40x + 25 có:

∆’ = 202 – 16.25 = 0 và hệ số a = 16 > 0

Do đó; 16×2 +40x + 25 ≥ 0; ∀ x ∈ R

Suy ra, bất phương trình 16×2 +40x + 25 < 0 vô nghiệm

Vậy S = ∅

c) Tam thức 3×2 – 4x +4 có ∆’ = (-2)2 – 4.3 = -10 < 0

Hệ số a= 3 > 0

Do đó, 3×2 – 4x +4 ≥ 0; ∀ x ∈ R

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = R.

d) Tam thức x2 – x – 6 có hai nghiệm là 3 và – 2

Hệ số a = 1 > 0 do đó, x2 – x – 6 khi và chỉ khi -2 ≤ x ≤ 3

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [ – 2; 3].

Lời giải:

a) Tập nghiệm T=(-∞;-6/5)∪(2;+∞)

b) Bất phương trình vô nghiệm vì Δ‘<0 và a = 16 > 0

c) Tập nghiệm là R vì 3×2-4x+4 có Δ‘<0 và hệ số a = 3 > 0

d) Tập nghiệm T=[-2;3]

Bài 56 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình :

Lời giải:

Bài 55 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.

a) (m-5) x2-4mx+m-2=0

b) (m+1) x2+2(m-1)x+2m-3=0

Lời giải:

a)

+) khi m – 5 = 0 ⇒ m=5 phương trình trở thành:

-20x + 3 = 0⇒x = 3/20

+) khi m – 5 ≠ 0⇒m ≠ 5, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ’ =(-2m)2- (m – 2)( m – 5)≥0

⇒4m2-(m2-5m-2m+10)≥0⇒4m2-m2+7m-10≥0

Do đó, m = – 1 thỏa mãn đầu bài.

+ Trường hợp 2: Nếu m ≠ -1 , để phương trình đã cho có m nghiệm khi và chỉ khi:

Bài 54 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình sau:

Lập bảng xét dấu:

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

S = (-∞; 1) ∪ (7; + ∞)

b) Ta có:

* Lại có: -x2+ 4x -3 = 0 ⇔ x = 1; x= 3

Và x2 – 3x – 10 = 0 ⇔ x= 5; x=-2

+ Ta có bảng xét dấu:

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

S = (-∞; -2) ∪ [1;3] ∪ (5; +∞)

c) Ta có: 2x +1 = 0 ⇔ x=-1/2

x2 + x – 30 = 0 ⇔ x = 5 và x = -6

Ta có bảng xét dấu:

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

1. Bài tập về Bất Phương Trình:

Bài 1/ BPT bậc nhất

1.1. Giải các bất phương trình sau: