Sự ra đời của định lý hàm cos (định lý cosin)
Nhà toán học Al Kashi
Định lý Cosin được phát minh ra bởi nhà toán học Al Kashi. Al Kashi ( 1380 – 22/06/1429) được sinh ra ở vùng Kashan, Iran. Ông là một nhà toán học, thiên văn học lớn của vùng Trung Á và là một trong những nhà bác học lớn cuối cùng của trường phái Samarkand đầu thế kỷ XV. Do đó, trong nhiều tài liệu người ta còn gọi định lý Cosin là định lý Al Kashi. Nguồn: Wikipedia.
Định lý Cosin là mở rộng của định lý Pythagore. Nếu định lý Pythagore cung cấp cho chúng ta một công cụ hiệu quả để tìm một cạnh còn thiếu trong một tam giác vuông, thì định lý hàm số Cosin đưa ra một phương pháp giúp ta tìm được một cạnh của tam giác thường khi biết được hai cạnh và góc xen giữa chúng, các góc của một tam giác khi biết các cạnh của một tam giác, cạnh thứ ba của một tam giác nếu biết hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh đó.
Định lý của Euclide
Vào thế kỷ III trước công nguyên, có một định lý được phát biểu dưới dạng hình học do nhà toán học Euclide đưa ra mà được xem là tương đương với định lý hàm số Cosin. Định lý của Euclide được phát biểu như sau:
“Trong một tam giác tù, bình phương của cạnh đối diện góc tù lớn hơn so với tổng bình phương của của hai cạnh kề góc tù là hai lần diện tích của hình chữ nhật bao gồm một cạnh bằng một trong hai cạnh kề góc tù của tam giác ( cụ thể là cạnh có đường cao hạ xuống nó ) và đoạn thẳng đã được cắt giảm từ đường thẳng kéo dài của cạnh đó về phía góc tù bởi đường cao trên.”
Định lý hàm cos trong tam giác
Định lý hàm cos hay (định lý cosin) trong hình học Eculid biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài các cạnh trong một tam giác phẳng với cosin (hay cos) của góc tương ứng.
Phát biểu định lý cosin
Trong một tam giác phẳng, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.
Công thức định lý
Xét tam giác phẳng ABC bất kì có độ dài các đoạn thẳng như sau: BC = a, AC = b, AB = c, các góc tương ứng: góc A = anpha, góc B = beta, góc C = gamma, ta có:
Nhận xét: trong một tam giác phẳng nếu biết được hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính được độ dài của cạnh còn lại hoặc tính góc khi biết 3 cạnh của tam giác.
Trường hợp tổng quát của định lý hàm số cos là định lý Pytago. Tìm hiểu kiến thức tổng quan nhất về định lý Pytago: TẠI ĐÂY!
Với công thức nêu trên, nếu tam giác ABC vuông ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A, cos α (hoặc A) = 0 => a2 = b2 + c2
- Tam giác ABC vuông tại B, cos β (hoặc B) = 0 => b2 = a2 + c2
- Tam giác ABC vuông tại C, cos γ (hoặc C) = 0 => c2 = a2 + b2
Chứng minh định lý cosin
Có nhiều cách để chứng minh định lý có thể kể đến nhứ:
- Sử dụng công thức tính khoảng cách
- Sử dụng công thức lượng giác
- Sử dụng định lý Pytago
- Sử dụng định lý Ptolemy
Ở đây, dễ dàng chứng minh nhất ta nên sử dụng định lý Pytago, cách làm sẽ như sau:
Xét tam giác ABC là tam giác nhọn (tam giác có 3 góc đều nhỏ hơn 90 độ) có BC = a, AC = b, AB = c, kẻ AH vuông góc với BC tại H; AH = h; HC = d.
Xét tam giác vuông ABH, áp dụng định lý Pytago ta có:
Xét tam giác vuông ACH, áp dụng định lý Pytago ta có:
Từ 2 phương trình (1) và (2) ta rút ra được:
Với d = b cosC thế vào phương trình biến đổi (3) ta rút ra điều phải chứng minh!
Trường hợp tam giác tù (tam giác có 1 góc lớn hơn 90 độ) cách chứng minh tương tự.
Hệ quả – ứng dụng định lý
Từ công thức định lý hàm số cos ta rút ra được công thức tính góc tam giác nhứ sau:
Với ma, mb, mc lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ A, B, C, ta có công thức tính độ dài trung tuyên như sau:
Với ha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B, C, ta có 1 số công thức tính diện tích tam giác như sau:
Tìm hiểu thêm: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong tam giác.
Bài tập về định lý cosin (định lý hàm cos)
Bài 1: Đường dây cao thế thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây trên khoảng 75° độ. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C?
Hướng dẫn giải:
- Theo định lý cosin ta có: a² = b² + c² – 2.b.c.cosA = 8² + 10² – 2.8.10.cos75° ≈ 122 km
- Vậy khoảng cách từ B đến C là 11 km
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A=120°, cạnh b=8cm và c=5cm. Tính cạnh a và các góc B, C của tam giác đó?
Hướng dẫn giải:
- Theo định lý cosin ta có: a² = b² + c² – 2.b.c.cosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° => a ≈ 11,4 km
- CosB = (c² + a² – b²) / 2.a.c => góc B ≈ 37° độ
- Góc: A + B + C = 180° => góc C = 180° – 120° – 37° = 23° độ
Bài 3: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, cạnh CA = b, cạnh AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng: a² = 2.(b² + c²)?
Hướng dẫn giải:
- Theo định lý về trung tuyến của tam giác ta có:
Mục tiêu bài viết
Sau khi xem xong bài viết, bạn có thể nắm bắt được các kiến thức về:
- Liệt kê được các hệ thức lượng trong tam giác.
- Ứng dụng định lý cosin vào việc giải bài toán thực tế.
Các kỹ năng:
- Giải được chính xác các bài toán về tam giác ứng dụng định lý cosin.
- Giải được bài toán chứng minh các hệ thức về mối liên hệ giữa các yếu tố của một tam giác.
Kiến thức tham khảo
Bài viết tham khảo: Tổng hợp công thức lượng giác
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Talet!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Pytago!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Ceva!
Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Menelaus
Chuyên mục tham khảo: Toán học
Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc vui lòng comment phía dưới hoặc Liên hệ chúng tôi!
Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!
Youtobe Facebook Twitter
