Hình thang là hình ta gặp rất nhiều trong đời sống hàng ngày. Đây cũng là hình được nhắc đến rất nhiều trong toán học do đó kiến thức về hình thang sẽ là kiến thức cơ bản mà các em cần nắm. Hình thang còn có các dạng đặc biệt như hình thang cân, hình thang vuông… Trong bài dưới đây ta sẽ cùng tìm hiểu về một trong những dạng đặc biệt của hình thang đó là hình thang vuông.
Khái niệm về hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình thang vuông nằm trong các trường hợp đặc biệt của hình thang.
Dấu hiệu nhận biết: hình thang có một góc vuông thì đó là hình thang vuông.
Công thức tính diện tích của hình thang vuông
Diện tích hình thang vuông bằng một nửa tích của tổng 2 đáy và chiều cao ứng với 2 cạnh đáy, đơn vị diện tích là mét vuông hoặc diện tích hình thang vuông bằng tích của đường cao và trung bình cộng của 2 đáy
S = 1⁄2 h (a + b)
Trong đó:
- S: Diện tích hình thang
- a, b: Độ dài 2 đáy của hình thang
- h: Độ dài đường cao (chính là cạnh vuông góc với 2 cạnh đáy)
Ví dụ minh họa
Cho hình thang ABCD vuông tại D với cạnh AD dài 10 cm, AB dài 12 cm, DC dài 15 cm. Tính diện tích hình thang.
Lời giải:
Theo bài ra ta có:
AB = 12 cm
AD = 10 cm
DC = 15 cm. Đây là cạnh bên đồng thời là chiều cao của hình thang.
Áp dụng ngay công thức tính diện tích hình thang vuông:
S = 1⁄2 h (a + b) = 1⁄2 x AD x (AB+DC) = 1⁄2 x 10 x (12+15) = 135 cm2
Đáp số: 135 cm2
Bài 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, hai đường chéo AC và BD vuong góc với nhau. Biết AB = 18 cm và CD = 32 cm. Khi đó BD và đường cao hình thang bằng bao nhiêu cm ?
Giải:
Theo bài ra ta có: tam giác BAD đồng dạng với tam giác ADC (đồng dạng theo trường hợp góc – góc) => AD2 = AB. DC = 18. 32 => AD = 24 cm
Theo định lý py-ta go trong tam giác vuông ABD suy ra BD2 = 182 + 242 = 900 => BD = 30 cm
Vậy đáp án tìm được là 24 cm và 30 cm
Bài tập 2: Cho một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Biết đáy nhỏ dài 14 cm; đáy lớn dài 50 cm. Tính diện tích hình thang đó.
Giải:
Giả sử ABCD là hình thang cân thỏa mãn theo yêu cầu đề bài. Hạ đường cao AH, BK xuống BC
Ta tính được DH = (CD – AB) / 2 = 18 cm
HC = CD – DH = 32 cm
Xét tam giác vông ADC ta thấy có :
AH2 = DH. HC = 576 => AH = 24 cm
Như vậy thì diện tích hình thang ABCD là
SABCD = 768 cm2
Bài tập 3 : Cho hình thang vuông ABCD (góc A, D là góc vuông) có AB = 4 cm, DC = 5cm, AD = 3 cm. Nối D với B được hai hình tam giác ABD và BDC
a) Tính diện tích hình tam giác đó
b)Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình tam giác BDC
Bài tập 4: Cho hinhft hang vuông ABCD có AD = 6 cm ; DC = 12 cm ; AB = 2/3DC
a) Tính diện tích hình thang ABCD
b) Khi kéo dài cạnh bên AD và CB thì 2 cạnh bên này cắt nhau tại M. Tính độ dài cạnh AM
Giải:
a) Độ dài cạnh AB là:
AB = 2/3 DC = 12 . (2/3) = 8 cm
Diện tích ABCD : (8 + 12) / 2 . 6 = 60 cm
b) Xét tam giác ABC đáy AB và DBC đáy CD có chiều cao bằng nhau và bằng 6 cm, đáy AB = 2/3 CD => SABC = 2/3SDBC
Xét tiếp hai tam giác ABC và DBC đáy BC vì SABC = 2/3SDBC => chiều cao AK = 2/3 DH
Xét tiếp tam giác AMC và tam giác DMC chung đáy MC mà chiều cao AK = 2/3 DH => SAMC = 2/3SDMC. SDMC lớn hơn SAMC (12. 6) / 2 = 36 cm2
SAMC = 36 / (3-2). 2 = 72 cm2
Xét tam giác AMC đáy AM, chiều cao CD => AM = 72 . 2 / 12 = 12 cm
Bài tập 5: Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD) vuông tại A và D. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MAD cân.
Bài tập 6: Tính diện tích mảnh đất hình thang ABCD vuông tại A, biết AB = 10 cm, CD = 12 cm và AD = 6 cm
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang vuông ta có
SABCD = (a + b). h/2 = (AB + CD). AD/2 = (10 + 12). 6/2 = 66 cm2
Bài tập 7: cho hình thang ABCD có chiều dài các cạnh là AB = 8, cạnh đáy CD = 13, cạnh đáy là 7. Hãy tính diện tích hình thang
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta được
SABCD = ((8+ 3) / 2). 7 = 73,5
Bài tập 8: Mảnh đất hình hang có đáy lớn là 38m và đáy bé là 28m. Mở rộng hai đáy về bên phải của mảnh đất với đáy lớn thêm 9m và đáy bé thêm 8m thu được mảnh đất hình thang mới có diện tích lớn hơn diện tích mảnh đất hình thang ban đầu là 107,2 m2. Hãy tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu
Giải:
Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích của hình thang có đáy lớn bằng 9m và đáy bé là 8m, chiều cao bằng với chiều cao hình thang ban đầu.
Vậy chiều cao mảnh đất này sẽ là:
h = (107,1 x 2) / (9 + 8) = 12,6m
diện tích mảnh đất hình thang ban đầu là:
S = ((38 + 28) / 2 ) x 12,6 = 415,8m
Bài tập 9: Cho hình thang vuông có khoảng cách hai đáy là 96 cm và đáy nhỏ bằng 4/7 đáy lớn. Tính độ dài hai đáy, biết diện tích hình thang là 6864 cm2
Giải:
Khoảng cách hai đáy chính là chiều cao của hình thang đó suy ra h = 96 cm
Tổng độ dài hai đáy là
(6864×2) / 96 = 143 cm
Độ dài đáy bé là
143 / (4 + 7) x 4 = 52 cm
Dộ dài đáy lớn là
143 – 52 = 91 cm