Ở lớp 7, ta đã học căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x² = a.
Tức là, ví dụ căn bậc hai của 64 là 64 và 64 hay là ±8.
Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 = 0.
Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau:
- Số dương kí hiệu là a >>> gọi là CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
- Số âm kí hiệu là a.
Số âm không có căn bậc hai.
1.Định nghĩa Căn bậc hai số học
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.
Để khai phương một số, ta có thể dùng máy tính bỏ túi.
Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là 16 = 4.
Căn bậc hai số học của 6 là 6.
Chú ý: Với a 0, ta có:
Nếu x = a thì x 0 và x² = a.
Nếu x 0 và x² = a thì x = a.
Ta có thể viết như sau:
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 0 và 11² = 121
=> căn bậc hai của 121 là ±11
b) 1,21: căn bậc hai số học của 1,21 là 1,1 vì 1,1 0 và 1,1² = 1,21.
=> căn bậc hai của 1,21 là ±1,1
2.So sánh các căn bậc hai số học
Nhắc lại với các em là:
Nếu a < b thì a < b với a, b không âm.
Nếu a < b thì a < b với a, b không âm.
Ta sẽ áp dụng định lí sau để so sánh các căn bậc hai số học.
Định lí:
Với hai số a và b không âm, ta có: a < b a < b
Ví dụ: So sánh các căn bậc hai số học
a) 4 và 15
Đầu tiên ta viết 4 = 16 và so sánh 16 và 15.
Vì 16 > 15 nên 16 > 15. Vậy 4 > 15.
b) 11 và 3
Vì 11 > 9 nên 11 > 9. Vậy 11 > 3.
Tìm x không âm, biết:
a) x > 2
Vì 2 = 4, nên x > 4.
Vì x 0 nên x > 4 x > 4.
Vậy x > 4.
b) x < 3
Ta biết 3 = 9 nên x < 9.
Vì x 0 nên x < 9 x < 9.
Vậy 0 x < 9
c) (2x) < 4
Ta có 4 = 16 nên 2x < 16.
Vì x 0 nên 2x < 16 2x < 16 x < 8.
Vậy 0 x < 8.
Các dạng bài tập Căn bậc hai
Dạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc hai
Bài 1 SGK Toán 9 tập 1
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 0 và 11² = 121
=> căn bậc hai của 121 là ±11
b) 144 : căn bậc hai số học của 144 là 12 vì 12 0 và 12² = 144
=> căn bậc hai của 144 là ±12
c) 169 : căn bậc hai số học của 169 là 13 vì 13 0 và 13² = 169
=> căn bậc hai của 169 là ± 13
d) 225 : căn bậc hai số học của 225 là 15 vì 15 0 và 15² = 225
=> căn bậc hai của 225 là ± 15
e) 256 : căn bậc hai số học của 256 là 16
=> căn bậc hai của 256 là ± 16
f) 324 : căn bậc hai số học của 324 là 18
=> căn bậc hai của 256 là ± 18
g) 361 : căn bậc hai số học của 361 là 19
=> căn bậc hai của 361 là ± 19
h) 400 : căn bậc hai số học của 400 là 20
=> căn bậc hai của 400 là ± 20.
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Bài 2 SGK Toán 9 tập 1
So sánh:
a) 2 và 3
Đầu tiên ta viết 2 = 4 và so sánh 4 với 3.
Vì 4 > 3 nên 4 > 3. Vậy 2 > 3.
b) 6 và 41
Ta có: 6 = 36. Vì 36 < 41 nên 36 < 41.
Vậy 6 < 41.
c) 7 và 47
Ta có 7 = 49. Vì 49 > 47 nên 49 > 47.
Vậy 7 > 47
Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai
Giải phương trình x² = a (với a 0).
Chú ý: Nếu a < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn:
Nghiệm của phương trình x² = a (với a 0) là các căn bậc hai của a, tức là
x² = a (với a 0) x = a hoặc a.
Bài 3 SGK Toán 9 tập 1
Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3):
a) x² = 2
x = 2 hoặc 2
x = 1,414 hoặc 1,414
b) x² = 3
x = ±3 = ±1,732
c) x² = 3,5
x = ±3,5 = ±1,87
d) x² = 4,12
x = ±4,12 = ±2.03
Bài 4. SGK Toán 9 tập 1
Tìm số x không âm, biết:
a) x = 15
x = 15² = 225 <<< căn bậc hai số học của 225 bằng 15
b) 2x = 14
x = 7 <<< chia cả hai vế cho 2
x = 7² = 49 <<< căn bậc hai số học của 49 là 7
c) x < 2
0 x < 2 <<< kết hợp điều kiện x 0 và x < 2
d) 2x < 4
Ta có 4 = 16 nên 2x < 16.
Vì x 0 nên 2x < 16 2x < 16 x < 8.
Vậy 0 x < 8. <<< kết hợp điều kiện x 0 và x < 8.
Bài 5. SGK Toán 9 tập 1
Đố: Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14 m.
Giải:
Trước tiên ta tính diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng = 14 × 3,5 = 49 m².
Gọi cạnh của hình vuông cần tìm là x, với x > 0.
Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh = x² = diện tích hình chữ nhật nên
x² = 49. >>> Muốn tính x ta tìm căn bậc hai số học của 49.
x > 0 nên x là căn bậc hai số học của 49 tức là x = 49 = 7.
Vậy cạnh của hình vuông cần tìm là 7m.
Tóm tắt bài học: Căn bậc hai Căn bậc hai số học
Kết thúc bài hôm nay, chúng ta cần nhớ điều gì về căn bậc hai và căn bậc hai số học?
#1. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau:
- Số dương kí hiệu là a >>> gọi là CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
- Số âm kí hiệu là a.
Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0.
Số âm không có căn bậc hai.
#2. Căn bậc hai số học của một số không âm là một số không âm >>> a 0.Với a 0:
Số x là căn bậc hai số học của a tức là
x = a x 0 và x² = (a)² = a.
Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:
>>> Học Toán 9 online với giáo viên liên hệ 035 3150072.
Bài tập nâng cao về Căn bậc hai
Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ
Để để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn.
Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ.
Nhưng để dễ hiểu phương pháp làm, ta sẽ chứng minh 5 là số vô tỉ.
Giải:
Giả sử 5là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:
5 = m/n với m, n Z, n 0, ƯC (m, n) = 1. (m/n là phân số tối giản)
(5)² = m²/n² hay 5n² = m² (1)
m² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.
Đặt m = 5k (k Z) ta có : m² = 25k² (2)
Từ (1) và (2) ta có: 5n² = 25k²
n² = 5k²
suy ra n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.
m và n cùng chia hết cho 5 nên m/n không phải là tối giản, như vậy trái giải thiết ƯC(m, n) = 1.
Vậy 5 không phải số hữu tỉ, do đó 5 là số vô tỉ. (đpcm)
Bài 2: So sánh các căn bậc hai số học
So sánh hai số:
a) 23 và 32
Ta có (23)² = 2². (3)² = 4. 3 = 12.
(32)² = 3². (2)² = 9.2 = 18.
Vì 12 < 18 nên (23)² < (32)² 23 < 32.
b) 24 + 45 và 12
Ta so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên:
Ta có 24 < 25 nên 24 < 25
45 < 49 nên 45 < 49
Vì vậy nên 24 + 45 < 25 + 49 = 5 + 7 = 12
c) 37 15 và 2
T a so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên:
Ta có 37 > 36 nên 37 > 36
15 < 16 nên 15 < 16 15 > 16
Nên 37 15 > 36 16 = 6 4 = 2.
Bài 3: Giải phương trình có chứa căn bậc hai
Điều kiện: x 1
Phương trình x 1 = 49 <<< Bình phương hai vế để mất căn bậc hai
x = 50 (thỏa mãn điều kiện) <<< Cộng cả hai vế với 1
x² + 1 = 4 <<< Bình phương hai vế để mất căn bậc hai
x² = 3 <<< Trừ hai vế cho 1
x = 3 hoặc 3
x² + 5x + 20 = 16 <<< Để bỏ căn bậc hai, ta bình phương hai vế
x² + 5x + 4 = 0 <<< Trừ cả hai vế cho 16
(x + 1)(x + 4) = 0 <<< Phân tích đa thức thành nhân tử
x = 1 hoặc x = 4
Vì 2 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
Các bài tập trên là những bài tập mẫu liên quan đến căn bậc hai, căn bậc hai số học mà ta vừa học.
Các em hãy cố gắng đọc hiểu và tự mình làm lại rồi kiểm tra lại nhé!
Nếu muốn Học Toán tiếng Anh phần này thì học tại đây.
Bài tiếp theo: Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
Quay lại trang: Học toán 9
Xem thêm
- Toán 9 Góc nội tiếp
- Cách giải phương trình bậc nhất Toán 8
- Toán 9 Khái niệm hàm số
- Toán 9 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Toán 9 Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất
Ths-GV Toán
Nguyễn Thùy Dung
