GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT:
I.Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:$mathop {lim }limits_{n to + infty } frac{1}{n} = 0$; $mathop {lim }limits_{n to + infty } frac{1}{{{n^k}}} = 0,,(k in {mathbb{Z}^ + })$ $mathop {lim }limits_{n to + infty } {q^n} = 0,,(left| q right| < 1)$; $mathop {lim }limits_{n to + infty } C = C$
2. Định lí : a) Nếu lim $u_n = a$, $lim {v_n} = b$ thì $lim (u_n + v_n) = a + b$ $lim (u_n – v_n) = a – b$ $lim (u_n.v_n) = a.b$ $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = frac{a}{b}$ (nếu $bne 0$) b) Nếu $u_n ge 0$, $forall n$ và $lim u_n= a$ thì $a ge 0$ và $lim sqrt {{u_n}} = sqrt a $
c) Nếu $left| {{u_n}} right| le {v_n}$, $forall n$ và $lim v_n = 0$ thì $lim u_n = 0$ d) Nếu $lim u_n = a$ thì $lim left| {{u_n}} right| = left| a right|$
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^n} = frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$ $left( {left| q right| < 1} right)$
II.Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt: $lim sqrt n = + infty $ $lim {n^k} = + infty ,,(k in {mathbb{Z}^ + })$ $lim {q^n} = + infty ,,(q > 1)$
2. Định lí: a) Nếu $lim left| {{u_n}} right| = + infty $ thì $lim frac{1}{{{u_n}}} = 0$ b) Nếu $lim u_n = a$, $lim v_n = pm infty$ thì $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$ c) Nếu $lim u_n = a ne 0$, $lim v_n = 0$ thì $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = pm infty $ Cho trong bảng sau: $begin{array}{|c|c|c|c|} hline lim u_n & lim v_n & Dấu của,, v_n & lim frac{u_n}{v_n}\ hline + &0&+&+infty \ hline + &0&-&-infty \ hline – &0&+&-infty \ hline – &0&-&+infty \ hline end{array}$
d) Nếu $lim {u_n} = pm infty $, $lim v_n = a$ thì $lim {u_n}{v_n} = pm infty $ Cho trong bảng sau: $begin{array}{|c|c|c|} hline lim u_n & lim v_n & lim {u_n.v_n}\ hline + &+infty&+infty \ hline + &-infty&-infty \ hline – &+infty&-infty \ hline – &-infty&+infty \ hline end{array}$
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $frac{0}{0}$, $frac{infty }{infty }$, $infty -infty$, $0.infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:1.DẠNG 1: $lim frac{{P(n)}}{{Q(n)}}$ (Trong đó $P(n)$, $Q(n)$ là các đa thức có chứa biến $n$) Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$. Chú ý: $lim frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = left{ begin{array}{l} k,,,,,,,,,,,text{khi},,text{bậc của},, (P(n)) = text{bậc của},, (Q(n))\ 0,,,,,,,,,,,,text{khi},, text{bậc của},, (P(n)) < text{bậc của},, (Q(n)),\ pm infty ,,,,,,,,text{khi},,text{bậc của},, (P(n)) > text{bậc của},, (Q(n)) end{array} right.$VD1: a) $lim frac{{n + 1}}{{2n + 3}} = lim frac{{1 + frac{1}{n}}}{{2 + frac{3}{n}}} = frac{1}{2}$ b) $lim frac{{n + 1}}{{2{n^2} + 3}} = lim frac{{frac{1}{n} + frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + frac{3}{{{n^2}}}}} = frac{0}{2} = 0$ c) $lim frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 3}} = lim frac{{1 + frac{1}{{{n^2}}}}}{{frac{2}{n} + frac{3}{{{n^2}}}}} = + infty $ Do: $left{begin{array}{l} lim(1+frac{1}{n^2})=1\ lim(frac{2}{n}+frac{3}{n^2}=0\ frac{2}{n}+frac{3}{n^2}=0, forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$
d) $lim frac{{sqrt {{n^2} + n} – 3n}}{{1 – 2n}} = lim frac{{sqrt {1 + frac{1}{n}} – 3}}{{frac{1}{n} – 2}} = 1$ e) $lim frac{{sqrt {{n^2} + n} – n}}{{n + sqrt {4{n^2} + n – 2} }} = lim frac{{sqrt {1 + frac{1}{n}} – 1}}{{1 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} }} = frac{0}{3} = 0$ f) $lim frac{{sqrt {{n^2} + n} – 3n}}{{1 – 2n + sqrt {4{n^2} + n – 2} }} = lim frac{{sqrt {1 + frac{1}{n}} – 3}}{{frac{1}{n} – 2 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} }} = – infty $ Do: $left{ begin{array}{l} lim (sqrt {1 + frac{1}{n}} – 3) = – 2 < 0\ lim (frac{1}{n} – 2 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} ) = 0\ frac{1}{n} – 2 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} > 0,forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$ g)$lim ({n^3} – n + 3) = lim frac{{1 – frac{1}{{{n^2}}} + frac{3}{{{n^3}}}}}{{frac{1}{n}}} = + infty $ Do: $left{begin{array}{l} lim(1-frac{1}{n^2}+frac{3}{n^3})=-2<0\ limfrac{1}{n}=0\ frac{1}{n}>0, forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$
2.DẠNG 2: $lim frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}}$ (Trong đó Do: $P({a^n}),,,Q({b^n})$ là các đa thức chứa Do: $a^n$ và ${b^n}$)Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho số lớn nhất có chứa mũ $n$.Chú ý: $lim frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}} = left{ begin{array}{l} k,,,,,,,,,,,text{khi},,a = b\ 0,,,,,,,,,,,,text{khi},a < b,\ pm infty ,,,,,,,,text{khi},,a > b end{array} right.$ VD2: a) $lim frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = lim frac{{1 + {{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}}{{2 + 3.{{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}} = frac{1}{2}$ b) $lim frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = lim frac{{{{left( {frac{2}{3}} right)}^n} + {{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}}{{2 + 3.{{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}} = frac{0}{2} = 0$ c) $lim frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = lim frac{{1 + {{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}}{{2.{{left( {frac{2}{3}} right)}^n} + 3.{{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}} = + infty $ Do: $left{ begin{array}{l} lim (1 + {left( {frac{1}{3}} right)^n}) = 1\ lim (2.{left( {frac{2}{3}} right)^n} + 3.{left( {frac{1}{3}} right)^n}) = 0\ 2.{left( {frac{2}{3}} right)^n} + 3.{left( {frac{1}{3}} right)^n} > 0,forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$3.DẠNG 3: Nhân lượng liên hợp:Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức $begin{array}{l} left( {sqrt a – sqrt b } right)left( {sqrt a + sqrt b } right) = a – b; & & \ left( {sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b}} right)left( {sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}} right) = a – b\ left( {sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}} right)left( {sqrt[3]{{{a^2}}} – sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}} right) = a + b end{array}$ VD3:
a) $lim left( {sqrt {{n^2} – 3n} – n} right)= lim frac{{left( {sqrt {{n^2} – 3n} – n} right)left( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}}{{left( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}}= lim frac{{ – 3n}}{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}= – frac{3}{2}$
b) $lim frac{1}{{sqrt {{n^2} – 3n} – n}} = lim frac{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}{{left( {sqrt {{n^2} – 3n} – n} right)left( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}} = lim frac{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}{{ – 3n}} = – frac{2}{3}$ c) $lim frac{{sqrt {4{n^2} – 3n} – 2n}}{{sqrt {{n^2} – 3n} – n}} = lim frac{{ – 3nleft( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}}{{ – 3nleft( {sqrt {4{n^2} – 3n} + 2n} right)}} = lim frac{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}{{sqrt {4{n^2} – 3n} + 2n}} = frac{1}{2}$ d) $lim left( {sqrt[3]{{{n^3} – 3n}} – n} right) = lim frac{{left( {sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} – n} right)left( {sqrt[3]{{{{left( {{n^3} – 3{n^2}} right)}^2}}} + n.sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} + {n^2}} right)}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} – 3{n^2}} right)}^2}}} + n.sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = lim frac{{ – 3{n^2}}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} – 3{n^2}} right)}^2}}} + n.sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} + {n^2}}}$=-1$4.DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn:Phương pháp giải: Áp dụng các công thức đã học $begin{array}{l} left( {{u_n}} right),,csc :,,{u_1} + {u_2} + … + {u_n} = frac{{2({u_1} + {u_n})}}{n}\ left( {{u_n}} right),,{mathop{rm cs}nolimits} n:,,{u_1} + {u_2} + … + {u_n} = frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}} end{array}$ VD4: a)Ta có $frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$ $lim left( {frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + ,,,…,, + ,,frac{1}{{n(n + 1)}}} right) = lim (1 – frac{1}{{n + 1}}) = 1$ b) $lim frac{{1 + 3 + {3^2} + … + {3^n}}}{{1 + 4 + {4^2} + … + {4^n}}} = lim frac{{3left( {1 – {3^n}} right)}}{{2left( {1 – {4^n}} right)}} = 0$
5.DẠNG 5: Dùng định lí kẹp:Phương pháp giải: Dùng định lí kẹp: Nếu $left| {{u_n}} right| le {v_n}$,$forall n$ và $lim v_n = 0$ thì $lim u_n = 0$VD5: a) $lim frac{{sin n}}{n}$. Vì $0 le left| {frac{{sin n}}{n}} right| le frac{1}{n}$ và $lim frac{1}{n} = 0$ nên $lim frac{{sin n}}{n} = 0$ b) $lim frac{{3sin n – 4cos n}}{{2{n^2} + 1}}$. Vì $left| {3sin n – 4cos n} right| le sqrt {({3^2} + {4^2})({{sin }^2}n + {{cos }^2}n)} = 5$ nên $0 le left| {frac{{3sin n – 4cos n}}{{2{n^2} + 1}}} right| le frac{5}{{2{n^2} + 1}}$. Mà $lim frac{5}{{2{n^2} + 1}} = 0$ nên $lim frac{{3sin n – 4cos n}}{{2{n^2} + 1}} = 0$ c) $lim frac{{sin n}}{{{4^n}}}$. Vì $0 le left| {frac{{sin n}}{{{4^n}}}} right| le {left( {frac{1}{4}} right)^n}$ và $lim {left( {frac{1}{4}} right)^n} = 0$ nên $lim frac{{sin n}}{{{4^n}}} = 0$ d) $lim frac{n}{{{4^n}}}$. Vì $0 le left| {frac{n}{{{4^n}}}} right| le {left( {frac{1}{2}} right)^n}$ và $lim {left( {frac{1}{2}} right)^n} = 0$ nên $lim frac{n}{{{4^n}}} = 0$ e) $lim frac{{n + sin n}}{{{4^n}}} = lim frac{n}{{{4^n}}} + lim frac{{sin n}}{{{4^n}}} = 0$.C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
BÀI 1: Tính các giới hạn sau: a) $lim ,,frac{{2{n^2} – n + 3}}{{3{n^2} + 2n + 1}}$ b) $lim ,frac{{2n + 1}}{{{n^3} + 4{n^2} + 3}}$ c) $lim frac{{3{n^3} + 2{n^2} + n}}{{{n^3} + 4}}$ d) $lim frac{{{n^4}}}{{(n + 1)(2 + n)({n^2} + 1)}}$ e) $lim ,frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^4} + n + 1}}$ f) $lim frac{{2{n^4} + {n^2} – 3}}{{3{n^3} – 2{n^2} + 1}}$BÀI 2: Tính các giới hạn sau: a) $lim frac{{1 + {3^n}}}{{4 + {3^n}}}$ b) $lim frac{{{{4.3}^n} + {7^{n + 1}}}}{{{{2.5}^n} + {7^n}}}$ c) $lim frac{{{4^{n + 1}} + {6^{n + 2}}}}{{{5^n} + {8^n}}}$ d) $lim ,frac{{{2^n} + {5^{n + 1}}}}{{1 + {5^n}}}$ e) $lim frac{{1 + {{2.3}^n} – {7^n}}}{{{5^n} + {{2.7}^n}}}$ f) $lim frac{{1 – {{2.3}^n} + {6^n}}}{{{2^n}({3^{n + 1}} – 5)}}$ BÀI 3: Tính các giới hạn sau: a) $lim frac{{sqrt {4{n^2} + 1} + 2n – 1}}{{sqrt {{n^2} + 4n + 1} + n}}$ b) $lim frac{{sqrt {{n^2} + 3} – n – 4}}{{sqrt {{n^2} + 2} + n}}$ c) $lim frac{{{n^2} + sqrt[3]{{1 – {n^6}}}}}{{sqrt {{n^4} + 1} + {n^2}}}$ d) $lim frac{{sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}}{{sqrt {{n^2} + 4n + 1} + n}}$ e) $lim frac{{(2nsqrt n + 1)(sqrt n + 3)}}{{(n + 1)(n + 2)}}$ f) $lim frac{{sqrt {{n^2} – 4n} – sqrt {4{n^2} + 1} }}{{sqrt {3{n^2} + 1} + n}}$BÀI 4: Tính các giới hạn sau: a) $lim left( {frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{3.5}} + ,,,…,,, + frac{1}{{(2n – 1)(2n + 1)}}} right)$ b) $lim left( {frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{2.4}} + ,,,…,,, + frac{1}{{n(n + 2)}}} right)$ c) $lim ,left( {1 – frac{1}{{{2^2}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{3^2}}}} right),,,…,,,left( {1 – frac{1}{{{n^2}}}} right)$ d) $lim left( {frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + ,,,…,, + ,,frac{1}{{n(n + 1)}}} right)$ e) $lim frac{{1 + 2 + … + n}}{{{n^2} + 3n}}$ f) $lim frac{{1 + 2 + {2^2} + … + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + … + {3^n}}}$
BÀI 5: Tính các giới hạn sau: a) $lim ,,left( {sqrt {{n^2} + 2n} – n – 1} right)$ b) $lim ,left( {sqrt {{n^2} + n} – sqrt {{n^2} + 2} } right)$ c) $lim ,,left( {sqrt[3]{{2n – {n^3}}} + n – 1} right)$ d) $lim left( {1 + {n^2} – sqrt {{n^4} + 3n + 1} } right),$ e) $lim left( {sqrt {{n^2} – n} – n} right)$ f) $lim frac{1}{{sqrt {{n^2} + 2} – sqrt {{n^2} + 4} }}$ g) $lim frac{{sqrt {4{n^2} + 1} – 2n – 1}}{{sqrt {{n^2} + 4n + 1} – n}}$ h) $lim frac{{{n^2} + sqrt[3]{{1 – {n^6}}}}}{{sqrt {{n^4} + 1} – {n^2}}}$ i) $lim frac{{sqrt {{n^2} – 4n} – sqrt {4{n^2} + 1} }}{{sqrt {3{n^2} + 1} – n}}$BÀI 6: Tính các giới hạn sau: a) $lim frac{{2cos {n^2}}}{{{n^2} + 1}}$ b) $lim frac{{{{( – 1)}^n}sin (3n + {n^2})}}{{3n – 1}}$ c) $lim frac{{2 – 2ncos n}}{{3n + 1}}$ d) $lim frac{{3{{sin }^6}n + 5{{cos }^2}(n + 1)}}{{{n^2} + 1}}$ e) $lim frac{{3{{sin }^2}({n^3} + 2) + {n^2}}}{{2 – 3{n^2}}}$ f) $lim frac{{3{n^2} – 2n + 2}}{{n(3cos n + 2)}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 03-07-2017 – 17:47
