Trong chương trình Toán lớp 9, các em đã được tìm hiểu về các phép tính liên quan đến căn bậc hai. Vậy làm cách nào để so sánh các căn bậc hai? Khi so sánh các căn bậc hai ta cần chú ý điều gì? Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ và chi tiết nhất các phương pháp so sánh căn bậc hai, mỗi phương pháp đều có ví dụ và hướng dẫn giải cụ thể. Để từ đó các em có thể vận dụng và giải các bài tập liên quan một cách nhanh và chính xác nhất. Chúng ta cùng nhau theo dõi nhé!
I. Định nghĩa căn bậc hai
Căn bậc hai số học của một số q ≥ 0 là một số x sao cho bình phương của nó bằng q:
Với q ≥ 0 ta có:
Một số dương q bất kỳ có đúng hai căn bậc hai là và .
Lưu ý: Căn bậc hai của số 0 là 0.
Số âm không có căn bậc hai.
Ví dụ. Ta có: vì 6 ≥ 0 và 62 = 36.
II. Các dạng bài so sánh căn bậc hai từ cơ bản đến nâng cao
1. Dạng 1: Dạng toán đưa về so sánh hai căn bậc hai và
*Phương pháp giải. Để so sánh căn bậc hai số học của hai số m và n không âm ta dựa vào tính chất:
Nếu m < n thì .
Ví dụ 1. Để so sánh 5 và ta làm như sau:
Ta có:
Vì 25 > 23 nên .
Vậy .
2. Dạng 2: Dạng toán đưa về so sánh và
*Phương pháp giải. Để so sánh các căn bậc hai có dạng như trên ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:
• Cách 1: Khi các căn bậc hai có thể tính được (nghĩa là tổng m + n là một số chính phương, m và n cũng là số chính phương). Đầu tiên, ta tính trực tiếp từng căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả thu được và đưa ra kết luận.
• Cách 2: Khi các căn bậc hai không tính được (nghĩa là một trong các số: m + n, m, n không phải là số chính phương). Ta thực hiện bình phương hai số rồi so sánh kết quả sau khi bình phương theo tính chất sau:
Với a, b là các số không âm ta có: suy ra .
Ngoài ra, một số tính chất bất đẳng thức thường được dùng trong dạng này là:
+ a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (Cộng hai vế với số c bất kỳ)
+ a ≤ b ⇔ a.m ≤ b.m (Nhân hai vế với số dương m)
+ a ≤ b ⇔ a.n ≥ b.n (Nhân hai vế với số âm n)
Để nắm rõ được hai cách làm trên thì chúng ta cùng nhau theo dõi hai ví dụ dưới đây nhé!
Ví dụ 2. So sánh và
Hướng dẫn: Đầu tiên, chúng ta quan sát thấy 16; 9 là hai số chính phương và tổng 16 + 9 cũng là số chính phương. Nghĩa là ta có thể tính trực tiếp các căn bậc hai này. Như vậy trong ví dụ này ta áp dụng cách 1 để so sánh các căn bậc hai.
Ta có:
Vì 5 < 7 nên
Ví dụ 3. So sánh và
Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta thấy 2001; 2002 và tổng 2001 + 2002 không phải là số chính phương. Nghĩa là ta không thể tính trực tiếp các căn bậc hai. Vì thế trong ví dụ này ta phải áp dụng cách 2 để so sánh các căn bậc hai. Đầu tiên, chúng ta tính bình phương hai số và so sánh hai kết quả thu được.
Ta có:
Vì
Nên
Suy ra
Vậy .
3. Dạng 3: Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh căn bậc hai
*Phương pháp giải. Khi chúng ta không thể so sánh trực tiếp hai căn bậc hai theo các cách trên thì ta tìm một số trung gian (lớn hơn số này và bé hơn số kia, thông thường chúng ta chọn các căn bậc hai của số chính phương làm trung gian) sau đó áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh: Nếu a < b và b < c thì a < c.
Ví dụ 4. So sánh và .
Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta nên chọn căn bậc hai của số chính phương là làm số trung gian.
Ta có:
Vì nên
Theo tính chất bắc cầu, ta có: .
Vậy .
4. Dạng 4: Sử dụng các phương pháp so sánh căn bậc hai để chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 5. Qua hai ví dụ 2 và 3 hãy chứng minh công thức tổng quát sau:
Với hai số m và n không âm ta có .
Giải.
Ta có:
Vì với m,n ≥ 0
Nên
Vậy .
III. Bài tập vận dụng về so sánh căn bậc hai
Bài 1. Chọn câu trả lời đúng. Kết quả nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án B.
A. Sai. Vì -15 < -12 nên .
B. Đúng. Vì nên . Suy ra .
C. Sai. Vì 7 < 8 nên . Suy ra .
D. Sai. Vì
Ta có: 10 = 2.5 = .
Vì 25 < 31 nên
Suy ra . Vậy .
Bài 2. So sánh:
a) và 11
b) và 12
c) và
d) 8 và
e) và
f) và
ĐÁP ÁN
a) Ta có nên
Vậy
b) Ta có
Vì nên
Vậy .
c) Ta có:
Vì nên
Suy ra
Vậy .
d) Ta có 8 = 3 + 5 =
Vì nên
Vậy .
e) Ta có:
Vì nên
Suy ra
Vậy .
f) Ta có:
Mà ( Vì 81 < 82)
Theo tính chất bắc cầu, ta có:
Vậy .
Bài 3. Chứng minh:
a) Nếu a > 1 thì .
b) Nếu thì .
ĐÁP ÁN
a) Ta có a > 1 ⇔ a – 1 > 0 ⇔
Vì với mọi số a > 1
Suy ra
(nhân hai vế với )
Vậy với a > 1 thì .
b) Ta có ⇔ ⇔ .
Vì với mọi số
Suy ra
(nhân hai vế với )
Vậy với thì .
Như vậy, bài viết đã cung cấp đầy đủ lý thuyết về căn bậc hai và các bài toán so sánh căn bậc hai. Đây là một trong các dạng toán thường xuất hiện trong các bài thi. Chính vì thế các em cần nắm vững kiến thức về căn bậc hai và các cách so sánh căn bậc hai để làm tốt các bài tập trên lớp.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
